Рекомендация
Студентам
Вы можете использовать данную статью как часть или основу своего реферата или даже дипломной работы или своего сайта
Просто перейдите по ссылке ниже, редактируйте статью, все картинки тоже доступны, все бесплатно
Редактировать статью?!
Скачать статью в формате PDF
Сохраните результат в MS Word Docx или PDF, делитесь с друзьями, спасибо :)
Категории статей
Избранные главы из монографии «ОСОБЕННОСТИ БИОМЕХАНИКИ В СТОМАТОЛОГИИ», А. Н. Чуйко
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ТЕРМИНЫ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАВИСИМОСТИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ БИОМЕХАНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ 1.1. Взаимосвязь величины силы, жесткости и податливости
Термины «жевательная нагрузка», «усилие» являются наиболее употребительными в повседневной практической деятельности стоматологов таких специальностей, как ортопедия, имплантология, ортодонтия и др. Но, как уже подчеркивалось во введении, даже в наиболее авторитетных и популярных учебниках [9, 10] вопросы эти излагаются нечетко, иногда с ошибками. Более того, до количественного определения (доведенного до конкретного числа) действующих усилий, в известных нам 
работах, дело, как правило, не доходит. С другой стороны, определение усилий - это одна сторона проблемы, так как только от распределения усилий, т.е. возникающих полей напряжений, зависит характер всех преобразований происходящих в костных тканях, как в норме, так и при любом заболевании и в процессе лечения. Отсюда возникает необходимость системного изложения этих вопросов, тем более что понятие «сила» в механике и понятие «напряжение» в сопротивлении материалов и теории упругости являются основными, первичными понятиями.
Рассмотрим обе стороны поставленной проблемы более подробно, используя традиционные методы анализа, базирующиеся на основных зависимостях теоретической механики и сопротивления материалов.
Несмотря на то, что определение понятия «сила», из школьного учебника [28], мы уже приводили во введении, рассмотрим его еще раз, используя популярный в высших учебных заведениях различного профиля учебник СМ. Тарга «Краткий курс теоретической механики» [56]. В соответствии, с которым «Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой». Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения 
силы. Сила обычно изображается отрезком со стрелкой. Однако, сил в виде черных и жирных стрелок (так принято изображать векторные величины) в природе практически не существует. Так их изображают для удобства восприятия и анализа. Поэтому в сопротивлении материалов и теории упругости широко используется принцип Сен-Венана, который гласит: «В точках тела достаточно удаленных от мест приложения нагрузок, внутренние силы весьма мало зависят от конкретного способа приложения этих нагрузок». Этот принцип во многих случаях позволяет производить замену одной системы сил другой системой, статически эквивалентной, что может упростить расчет. Например, при расчете зубо-челюстного сегмента вдали от зоны окклюзионного контакта, можно фактическую нагрузку от 
соприкасающихся зубов, распределенную по некоторому закону (определить который обычными методами довольно сложно), заменить сосредоточенной (равнодействующей) силой. Но именно в зоне контакта зубов такую замену делать нельзя и необходимо решать классическую контактную задачу [41, 57, 58].
В сопротивлении материалов, для удобства анализа, вводится понятие внутренняя сила (силовой фактор). Различают продольную силу Nz, поперечные силы Qx и Qy, крутящий момент Mz, изгибающие моменты Mx и My. Индексы при силовых факторах соответствуют осям координат, 
относительно которых действует соответствующий фактор. Численная величина внутренней силы находится из условия равновесия, т.е. ее величина равна сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения. В дальнейшем мы, с целью упрощения, также как и в теории упругости, будем считать, что условие равновесия удовлетворено, и внутренний силовой фактор выражен через внешнюю силу.
Вначале рассмотрим сущность и взаимосвязь таких понятий, как сила, жесткость и податливость упругой системы.
В общем случае, для линейной системы с одной степенью свободы, сила F и, вызываемое ее действием, перемещение q связаны линейной зависимостью
или, при определении перемещений, где k - коэффициент жесткости системы; d - коэффициент податливости системы.
Таким образом, коэффициент жесткости имеет размерность Н/мм и показывает, какая сила вызовет перемещение равное 1 мм, а коэффициент податливости имеет обратную размерность - мм/Н и показывает величину перемещения при действии силы равной 1 Н. Оба коэффициента используются равноправно, в зависимости от того, какой показатель вычисляется. Обычно при определении усилия - коэффициент жесткости, при определении перемещения - коэффициент податливости.
Рис. 1.1.1. Расчетная схема отдельно взятого зуба, простого цилиндрического имплантата или элемента ортодонтической дуги при действии на них только продольной силы
Отметим, что в более сложных случаях - для системы с многими степенями свободы, зависимость (1.1.1) преобразуется и представляется в матричной (векторной) форме в виде вектора сил, равного произведению матрицы жесткости на вектор узловых перемещений.
Матрица жесткости при использовании любой программы конечно-элементного моделирования формируется и вычисляется автоматически, что более подробно будет показано ниже.
Далее, наряду с обычными терминами, мы будем применять и термины сопротивления материалов. Отметим, что в сопротивлении материалов, вне зависимости от конкретных геометрических размеров и конфигурации поперечного сечения элемента принята такая терминология: элемент работающий, в основном, на растяжение (сжатие) называется стержнем; элемент, работающий на изгиб (изгиб первого и второго порядка в ортодонтии), называется балкой; а элемент, работающий на кручение (изгиб третьего порядка в ортодонтии - торк), называется валом. Именно от вида деформации растяжение (сжатие), изгиб или кручение зависит выбор расчетных формул. Кроме того, рассматриваемые ниже расчетные формулы, на наш взгляд, обладают значительно большей информативностью, чем таблицы, которым отдается предпочтение во многих работах. Просто необходимо вникнуть в их механический смысл и уметь пользоваться обычным калькулятором.
Рис. 1.1.2. Расчетная схема при действии на отдельный зуб, простой цилиндрический имплантат или элемент ортодонтической дуги поперечной силы
Расчетная схема отдельно взятого зуба, простого цилиндрического имплантата или элемента ортодонтической дуги - консольно закрепленный стержень (рис. 1.1.1 и рис. 1.1.2).
При действии на зуб, простой цилиндрический имплантат или элемент ортодонтической дуги только продольной силы, коэффициенты жесткости и податливости могут быть определены по формулам:
В формулах (1.1.3) E - модуль упругости материала; A - площадь поперечного сечения стержня; l-длина элемента. Кроме того, произведение ЕА представляет собой и называется жесткостью стержня на растяжение (сжатие).
При действии на отдельный зуб, простейший цилиндрический имплантат или элемент ортодонтической дуги поперечной силы, простейшая расчетная схема - консольно закрепленная балка (рис.1.1.2, а, б).
В этом случае коэффициенты жесткости и податливости определяются по формулам:
Здесь J - момент инерции поперечного сечения элемента. Произведение EJ называется жесткостью элемента (балки) на изгиб.
Простейший мостовидный протез или элемент ортодонтической дуги между двумя зубами - это балка на двух опорах. Если условно можно считать, что мостовидный протез прикреплен к опорным зубам шарнирно, как это схематически показано на рис. 1.1.3, б, при действии сосредоточенной силы в середине пролета (рис.1.1.3, а, б) коэффициенты жесткости и податливости определяются по формулам:
Рис. 1.1.3. Расчетная схема простого мостовидного протеза или элемента ортодонтической дуги при наличии дефекта между двумя зубами.
Если мостовидный протез прикреплен к опорным зубам жестко, как это схематически показано на рис. 1.1.3, в или ширина брекета значительно больше диаметра проволоки, а зазор в пазу брекета небольшой, можно считать, что зазор в брекете близок к нулю, то расчетная схема (рис. 1.1.3, в) существенно усложняется - балка становится статически неопределимой. Для этого расчетного случая коэффициенты
жесткости и податливости можно определить по формулам:
Из формул (1.1.5 и 1.1.6) следует, что при прочих равных параметрах, переход от балки шарнирно закрепленной на концах к балке с защемленными концами, ее жесткость увеличивается в 4 раза. В реальных условиях значение коэффициента, учитывающего закрепление концов
дуги, будет иметь промежуточное значение между 48 и 192.
При действии зуб, простой цилиндрический имплантат или элемент ортодонтической дуги крутящего 
момента (ротации, изгиб третьего порядка), соотношения (1.1.1) и (1.1.2) целесообразно переписать, используя другие обозначения:
где Mk и j - крутящий момент и угол закручивания.
Рис. 1.1.4. Расчетная схема зуба, простого цилиндрического имплантата или элемента ортодонтической дуги при кручении
Простейшая расчетная схема зуба, простого цилиндрического имплантата или элемента ортодонтической дуги при кручении - это вал, который может быть представлен, как показано на рис. 1.1.4, а, б.
Коэффициенты жесткости и податливости, в этом случае, можно определить по формулам:
В формулах (1.1.8) G и Jk - модуль сдвига материала и полярный момент инерции поперечного сечения элемента. Как и ранее, произведение GJk - жесткость элемента (вала) на кручение.
Подвергнем приведенные формулы краткому анализу.
Применительно к конструктивному элементу круглого сечения диаметром d, площадь поперечного сечения, момент инерции при изгибе и момент инерции при кручении, определяются по формулам:
Определим соотношение перемещений от изгиба qи и растяжения (сжатия) qс при действии одинаковой по величине силе F, воспользовавшись формулами (1.1.2), (1.1.3), (1.1.4) и (1.1.8) (см. рис. 1.1.5 а, б)
Если принять, что длина конструктивного элемента в 10 раз больше его диаметра, то в соответствии с формулой (1.1.10) максимальные перемещения от изгиба будут превышать аналогичные от сжатия (растяжения) в 533 раза. Именно это соотношение является причиной того, что при анализе упругих систем, одновременно воспринимающих поперечные и осевые нагрузки, действием вторых (осевых) на величину перемещений, как правило, пренебрегают.
Рис. 1.1.5. Конструктивный элемент при совместном действии продольной и поперечной силы (перемещения и эпюры напряжений)
Далее отметим, так как жесткость на изгиб и кручение зависит от соответствующего момента инерции, который, в свою очередь, пропорционален диаметру в 4-й степени (см. формулы (1.1.8)), то замена ортодонтической проволоки диаметром 0,4772 мм (0,018 дюйма) на диаметр
0,5588 мм (0,022 дюйма) приводит к увеличению жесткости системы в 2,23 раза. Для квадратного поперечного сечения, сторона которого равна диаметру, момент инерции при изгибе J=d4/12. Поэтому замена ортодонтической проволоки круглого поперечного сечения на квадратное приводит к увеличению жесткости на изгиб в 1,698 раза.
Особо подчеркнем, что в приведенные выше формулы, кроме геометрических характеристик, входит такой параметр, как модуль упругости Е (модуль сдвига G), определяющий жесткость материала (механическая сущность этого параметра и методика определения его величины более подробно будет рассмотрена ниже). Поэтому всегда следует учитывать, что жесткость (или податливость) понятие достаточно широкое. Всегда следует различать жесткость материала E(G), из которого выполнен элемент конструкции; жесткость поперечного сечения элемента, которая зависит от жесткости материала и его количества, а также характера распределения: при растяжении (сжатии) она равна ЕА, а при изгибе - EJ; и коэффициенты жесткости (податливости), которые учитывают, как первые два фактора, так и тип конструкции, и характер ее нагружения. Здесь же отметим, что использование в некоторых переводах с английского термина «модуль эластичности», на наш взгляд, следует считать неудачным, так как в русском языке понятие «эластичность» ближе понятию «податливость», а не понятию «упругость». Ведь чем больше модуль упругости, тем выше жесткость материала, а податливость соответственно ниже.
Как показано выше, жесткость или податливость любой упругой системы может характеризоваться различными показателями, в зависимости от направления и типа нагрузки, а также от принятой расчетной схемы (модели). Вычислив величину коэффициента податливости и зная значение отклонения характерной точки системы, по формуле (1.1.1) можно определить величину силы, действующей на зуб. С другой стороны, вычислив величину коэффициента податливости и задав величину действующей силы можно определить необходимую величину отклонения характерной точки системы по формуле (1.1.2).
Особо отметим, что податливость любой биоконструкции является относительным показателем, характеризующим способность ее сопротивляться внешним нагрузкам вне зависимости от их конкретного значения. Каждый из перечисленных параметров жесткости (податливости) математически строго определен и поэтому может быть вычислен.
Более сложные расчетные схемы и соответствующие им коэффициенты жесткости и податливости будут рассмотрены ниже при анализе конкретных конструкций.
В заключение этого раздела отметим, что, если, например, для автомобиля и самолета основными показателями, характеризующими их технический уровень и эксплуатационные возможности, являются скорость и грузоподъемность, которые заносятся в техническую документацию и рекламные проспекты, то для мостовидного протеза, имплантата или любого аппарата внешней фиксации таким показателем, на наш взгляд, может быть податливость системы. Это позволит не только унифицировать эти конструкции, но и облегчит подбор необходимого устройства в каждом конкретном лечебном случае. Подолжение следует.
Источник: www.dentoday.ru
